Operaciones con polinomios
Valor numérico de un polinomio
Es el resultado que
obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.
P(x) = 2x3 + 5x - 3 ; x = 1
P(1) = 2 · 13 +
5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del
mismo grado.
P(x) = 2x3
+ 5x - 3 Q(x) = 4x - 3x2
+ 2x3
1Ordenamos los polinomios, si no lo
están.
Q(x) = 2x3
- 3x2 + 4x
P(x) + Q(x) =
(2x3 + 5x - 3) + (2x3 -3x2 + 4x)
2Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) =
2x3 + 2x3 - 3 x2 + 5x + 4x – 3
3Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) =
4x3- 3x2 + 9x - 3
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) =
(2x3 + 5x - 3) − (2x3 - 3x2 + 4x)
P(x) − Q(x) =
2x3 + 5x - 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) − Q(x) =
2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x - 3
P(x) − Q(x) =
3x2 + x – 3
Producto de
polinomios
Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio
que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes
el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 · (2x3 - 3 x2
+ 4x - 2) = 6x3 - 9x2 + 12x - 6
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio
por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3 x2 · (2x3
- 3x2 + 4x - 2) = 6x5 - 9x4 + 12x3
- 6x2
Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 - 3
Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio
del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x2
- 3) · (2x3 - 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4
+ 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del
mismo grado.
= 4x5 − 6x4
+ 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio
cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios
que se multiplican.
También podemos multiplicar
polinomios de siguiente modo:
Ejercicio
Efectuar de dos modos
distintos la multiplicación de los polinomios:
P(x) = 3x4 + 5x3
-2x + 3 y Q(x) = 2x2 - x +3
P(x) · Q(x) = (3x4
+ 5x3 -2x + 3) · (2x2 - x +3) =
= 6x6 - 3x5
+ 9x4 + 10x5 - 5x4 + 15x3 -
- 4x3 + 2x2
- 6x + 6x2 - 3x + 9 =
= 6x6
+ 7x5 + 4x4 + 11x3 + 8x2 - 9x + 9
División de
polinomios
Resolver la división
de polinomios:
P(x) = 2x5
+ 2x3 −x - 8 Q(x) =
3x2 −2 x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no
es completo dejamos huecos
en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del
divisor.
x5 : x2
= x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado
anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer
monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo
multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2
= 2 x2
Procedemos igual que
antes.
5x3 : x2
= 5 x
Volvemos a hacer las
mismas operaciones.
8x2 : x2
= 8
10x − 6 es el resto,
porque su grado es menor
que el del divisor y por tanto no se puede continuar
dividiendo.
x3+2x2 +5x+8 es el cociente.