Hagamos que la matemática ocupe su lugar de importancia en la sociedad.
Dediquemosle el tiempo necesario para aprenderla y aplicarla.

jueves, noviembre 29, 2012


TEOREMA DEL RESTO

El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x - a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.
Calcular por el teorema del resto el resto de la división:
P(x) : Q(x)
P(x)= x4 − 3x2 +2         Q(x)= x − 3









P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56 

IDENTIDADES NOTABLES
Binomio al cuadrado
(a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2
(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9
Suma por diferencia
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2− 25
Binomio al cubo
(a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2 ± b3
(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =
= x 3 + 9 x2 + 27 x + 27
(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33=
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27
Trinomio al cuadrado
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2 − x + 1)2 =
= (x2)2 + (-x)2 + 12 +2 · x2 · (-x) + 2 x2 · 1 + 2 · (-x) · 1=
= x4 + x2 + 1 - 2x3 + 2x2 - 2x=
= x4- 2x3 + 3x2 - 2x + 1
Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)
Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6

REGLA DE RUFFINI


Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemático italiano, que estableció un método más breve para hacer la división de polinomios, cuando el divisor es un binomio de la forma x — a.

Regla de Ruffini
Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar de ejemplo la división:
(x4 − 3x2 + 2 ) : (x − 3)

1)Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.

2)Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

3)Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor.

4)Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

 5)Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.







6)Sumamos los dos coeficientes.






7)Repetimos el proceso anterior.






Volvemos a repetir el proceso.






Volvemos a repetir.







8) El último número obtenido, 56 , es el resto.

9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

x3 + 3 x2 + 6x +18



Ejemplo
Dividir por la regla de Ruffini:
(x5 − 32) : (x − 2)
C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16
R = 0


                                                       Operaciones con polinomios



Valor numérico de un polinomio
Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.
P(x) = 2x3 + 5x  - 3 ; x = 1
P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3         Q(x) = 4x - 3x2 + 2x3

1Ordenamos los polinomios, si no lo están.
 Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
P(x) +  Q(x) = (2x3 + 5x - 3) + (2x3 -3x2 + 4x)

2Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) +  Q(x) = 2x3 + 2x3 - 3 x2 + 5x + 4x – 3

3Sumamos los monomios semejantes.
P(x) +  Q(x) = 4x3- 3x2 + 9x - 3



Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x - 3) − (2x3 - 3x2 + 4x)
P(x) −  Q(x) = 2x3 + 5x - 3 − 2x3 + 3x2 − 4x
P(x) −  Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x - 3
P(x) −  Q(x) = 3x2 + x – 3


Producto de polinomios

Multiplicación de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.
3 · (2x3 - 3 x2 + 4x - 2) = 6x3 - 9x2 + 12x - 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
3 x2 · (2x3 - 3x2 + 4x - 2) = 6x5 - 9x4 + 12x3 - 6x2

Multiplicación de polinomios
P(x) = 2x2 - 3    Q(x) = 2x3 - 3x2 + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.
P(x) ·  Q(x) = (2x2 - 3) · (2x3 - 3x2 + 4x) =
= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:
Ejercicio
Efectuar de dos modos distintos la multiplicación de los polinomios:
P(x) = 3x4 + 5x3 -2x + 3 y Q(x) = 2x2 - x +3
P(x) · Q(x) = (3x4 + 5x3 -2x + 3) · (2x2 - x +3) =
= 6x6 - 3x5 + 9x4 + 10x5 - 5x4 + 15x3 -
- 4x3 + 2x2 - 6x + 6x2 - 3x + 9 =
= 6x6 + 7x5 + 4x4 + 11x3 + 8x2 - 9x + 9

División de polinomios

Resolver la división de polinomios:
P(x) = 2x5 + 2x3 −x - 8         Q(x) = 3x2 −2 x + 1
P(x) :  Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.
x3+2x2 +5x+8 es el cociente

POLINOMIO

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:
P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0

Siendo:
·         an, an -1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.
·         n un número natural.
·         x la variable o indeterminada.
·         an es el coeficiente principal.
·         ao es el término independiente.

Ejemplo:
2X3+5X- 4
 

                     Coeficiente principal                       Término independiente


Grado de un polinomio
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Ejemplo:
2X3+5X- 4, el primer término es de grado 3, el segundo de grado uno y el tercero de grado cero, como el mayor grado que presenta el polinomio es tres decimos, que este es un polinomio de grado 3 o de tercer grado.


Clasificación de un polinomio según su grado
Primer grado
P(x) = 3x + 2
Segundo grado
P(x) = 2x2+ 3x + 2
Tercer grado
P(x) = x3 - 2x2+ 3x + 2

Tipos de polinomios

Polinomio nulo
Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.


Polinomio homogéneo
Es aquel polinomio en los todos sus términos o monomios son del mismo grado.
P(x) = 2x2 + 3xy

Polinomio heterogéneo
Es aquel polinomio en el que sus términos no son del miso grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 - 3

Polinomio completo
Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3

Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3

Polinomios iguales
Dos polinomios son iguales si verifican:
1Los dos polinomios tienen el mismo grado.
2Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.
P(x) = 2x3 + 5x - 3
Q(x) = 5x - 3 + 2x3

Polinomios semejantes
Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.
P(x) = 2x3 + 5x − 3
Q(x) = 5x3 − 2x − 7 

                                 Operaciones con Monomios


Suma de monomios


Sólo podemos sumar monomios semejantes.

La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

axn + bxn = (a + b)xn

Ejemplo:  2x2 y3 z + 3x2 y3 z = 5x2 y3 z

Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio.

Ejemplo:

2x2 y3 + 3x2 y3 z

Producto de un número por un monomio

El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.

Ejemplo:  5 · 2x2 y3 z = 10x2 y3 z


Multiplicación de monomios

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base.  axn · bxm = (a · b)xn +m

Ejemplo:   5x2 y3 z · 2 y2 z2 = 10 x2 y5 z3


División de monomios

Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor.
La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.
axn : bxm = (a : b)xn – m

Ejemplo:

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.


Potencia de un monomio

Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de éste, al exponente de la potencia.(axn)m = am · xn · m

Ejemplos:
§  ((2x3)3 = 23(x3)3 = 8x9
§    (-3x2)3 = (-3)3 (x3)2 = −27x6