Hagamos que la matemática ocupe su lugar de importancia en la sociedad.
Dediquemosle el tiempo necesario para aprenderla y aplicarla.

jueves, enero 03, 2013


4. Operaciones combinadas con llaves

Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.
Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.
En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente y las llaves las sustituímos por corchetes.
Operamos en los paréntesis y en los corchetes volvemos a poner paréntesis.
Después multiplicamos.
Finalmente restamos y sumamos.
Ejemplo:
24 − 9 {8 − 6[32 − 6 · 5 − 7(9 + 73) + 10] − 5} + 8[36 : 6 − 5(2 · 3)] =
= 24 − 9{8 − 6[32 − 6 · 5 − 7 · (352)+ 10] − 5} + 8[36 : 6 − 5 · (6)] =
= 24 − 9 [8 − 6 · ( 9 − 30 − 2 464 + 10) − 5] + 8 · (36 : 6 − 30) =
= 24 − 9 [8 − 6( 9 − 30 − 2 464 + 10) − 5] + 8 · (6 − 30) =
= 24 − 9 (8 + 14 850 − 5) − 192 =
= 16 − 9 · (14 583) − 192 =
= 16 − 131 247 − 192 =
= −133 853

3. Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes

Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.
Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.
En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente.
Operamos en los paréntesis.
Después multiplicamos.
Finalmente restamos y sumamos.
Ejemplo:
[15 − (23 − 10 : 2 )] · [5 + (3 · 2 − 4 )] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =
= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 ) =
= [15 − 3] · [5 + 2] − 3 + 2 =
= (15 − 3) · (5 + 2) − 3 + 2 =
= 12 · 7 − 3 + 2 =
= 84 − 3 + 2 = 83

2. Operaciones combinadas con parénteis

Realizamos en primer lugar las operaciones contenidas en los paréntesis.
Quitamos paréntesis realizando las operaciones.
Ejemplo:
(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) − 5 + (10 − 23) =
= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8)=
= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18
OPERACIONES COMBINADAS DE NÚMEROS ENTEROS



Jerarquía de las operaciones

1 Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.
2 Calcular las potencias y raíces.
3 Efectuar los productos y cocientes.
4 Realizar las sumas y restas.

Tipos de operaciones combinadas

  • Sin paréntesis
  • Con paréntesis
  • Con paréntesis y corchetes
  • Con llaves

1. Operaciones combinadas sin paréntesis

1.1 Combinación de sumas y diferencias

Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.
Ejemplo:
9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7

1.2 Combinación de sumas, restas y productos:

Realizamos primero los productos por tener mayor prioridad.
Posteriormente efectuamos las sumas y restas.
Ejemplo:
3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 2 =
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15

1.3 Combinación de sumas, restas, productos y divisiones:

Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.
Efectuamos las sumas y restas.
Ejemplo:
10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 =
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10

1.4 Combinación de sumas, restas, productos , divisiones y potencias:

Realizamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.
Seguimos con los productos y cocientes.
Efectuamos las sumas y restas.
Ejemplo:
23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 22 − 16 : 4 =
= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 16 =
= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 4 = 26
>>

Ejemplo de operaciones combinadas

12 − {7 + 4 · 3 − [(−2)2 · 2 − 6)]}+ (22 + 6 − 5 · 3) + 3 − (5 − 23 : 2) =
1 Primero operamos con las potencias, productos y cocientes de los paréntesis.
Ejemplo:
= 12 − [7 + 4 · 3 −(4 · 2 − 6)] + (4 + 6 − 5 · 3) + 3 − (5 − 8 : 2) =
2 Operamos con los productos y cocientes de los paréntesis.
Ejemplo:
= 12 − [7 +12 − (8 − 6)] + (4 + 6 − 15) + 3 − (5 − 4) =
3 Realizamos las sumas y diferencias de los paréntesis.
Ejemplo:
= 12 − (7 + 12 − 2) + (−5) + 3 − (1) =
= 12 − (17) + (−5) + 3 − (1) =
4 La supresión de paréntesis ha de realizarse considerando que:
1 Si el paréntesis va precedido del signo +, se suprimirá manteniendo su signo los términos que contenga.
2 Si el paréntesis va precedido del signo −, al suprimir el paréntesis hay que cambiar de signo a todo los términos que contenga.
Ejemplo:
= 12 − 17 − 5 + 3 − 1 = −8


Raíz cuadrada

La raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado.
formula de raiz cuadrada

Raíz cuadrada de un número entero

Las raíces cuadradas de números enteros tienen dos signos: positivo y negativo.
Ejemplo: 
ejemplos de raíz cuadrada
El radicando es siempre un número positivo o igual a cero, ya que se trata del cuadrado número.
Ejemplo: 
Raía sin solución

Raíz cuadrada exacta

La raíz cuadrada es exacta, siempre que el radicando sea un cuadrado perfecto.
Fórmula de Raíz cuadrada exacta

Raíz cuadrada entera

La raíz cuadrada es entera, siempre que el radicando no sea un cuadrado perfecto.
Ejemplo: 
Ejemplo de Raíz cuadrada entera
La raíz entera de un número entero es el mayor entero cuyo cuadrado es menor que dicho número.
Fórmula de raíz cuadrada entera
El resto es la diferencia entre el radicando y el cuadrado de la raíz entera.
Resto = Radicando − Raíz2
Ejemplo:
Resto = 17 − 42 = 1

Potencias de exponente entero negativo

La potencia de exponente negativo es la inversa de la potencia con el mismo exponente, pero positivo:
formula de potencias de exponente entero negativo
Ejemplo:
 
 
ejemplos de potencias de exponente entero negativo
Un número elevado a −1, es el inverso de dicho número.
Ejemplo:
ejemplos de potencias de exponente entero negativo

Potencia de números enteros

La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:
1 Las potencias de exponente par son siempre positivas.
(+)par = +
()par = +
2 Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.
(+)impar = +
()impar = 

Propiedades de las potencias de números enteros

1 La potencia de 0 es igual a 1
a0 = 1
2 La potencia de 1 es igual a ese mismo número
a1 = a
3 Producto de potencias con la misma base
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
am · an = am + n
Ejemplo:
(−2)· (−2)= (−2)5 + 2 = (−2)7 = −128
4 División de potencias con la misma base
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.
am : an = am − n
Ejemplo:
(−2): (−2)= (−2)5 − 2 = (−2)3 = −8
5 Potencia de una potencia
Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.
(am)n = am · n
Ejemplo:
[(−2)3]2 = (−2)6 = 64
6 Producto de potencias con el mismo exponente
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases.
an · bn = (a · b)n
Ejemplo:
(−2)· (3)= (−6)3 = −216
7 Cociente de potencias con el mismo exponente
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.
an : bn = (a : b)n
Ejemplo:
(−6)3 : 3= (−2)3 = −8

División de números enteros

La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
+ : + = +
 :  = +
+ :  = 
 : + = 
Ejemplo: 
10 : 5 = 2
(−10) : (−5) = 2
10 : (−5) = −2
(−10) : 5 = −2

Propiedades de la división de números enteros

1 No interna
El resultado de dividir dos números enteros no siempre es otro número entero.
formula resta de numeros enteros_no interna
2 No conmutativa
a : b ≠ b : a
ejemplo: 6:(-2) =/= -2:6


Multiplicación de números enteros

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.
+ · + = +
 ·  = +
+ ·  = 
 · + = 
Ejemplo: 
2 · 5 = 10
(−2) · (−5) = 10
2· (−5) = −10
(−2) · 5 = −10

Propiedades de la resta de números enteros

1 Interna
El resultado de multiplicar dos números enteros es otro número entero.
formula de la multiplicacion de numeros enteros
Ejemplo: 
ejemplo de la multiplicacion
2 Asociativa
El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números enteros cualesquiera, se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · a)
Ejemplo:
(2 · 3) · (−5) = 2 · [(3 · (−5)]
6 · (−5) = 2 · (−15)
−30 = −30
3 Conmutativa
El orden de los factores no varía el producto.
a · b = b · a
Ejemplo:
2 · (−5) = (−5) · 2
−10 = −10
4 Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.
a · 1 = a
Ejemplo:
(−5) · 1 = (−5)
5 Distributiva
El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.
a · (b + c) = a · b + a · c
Ejemplo:
(−2) · (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5
(−2) · 8 = (−6) + (−10)
−16 = −16
6 Sacar factor común
Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.
a · b + a · c = a · (b + c)
Ejemplo:
(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)