Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo es el menor de todos los múltiplos comunes de varios números, excluido el cero.

Cálculo del mínimo común múltiplo

1 Se descomponen los números en factores primos.

2 Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.

Ejemplos:

Hallar el m.c.m. de 72, 108 y 60:

72 = 2³ · 3²

108 = 2² · 3³

60 = 2² · 3 · 5

Solución: 

m.c.m. (72, 108, 60) = 2³ · 3³ · 5= 1080

1 080 es el menor múltiplo común a 72, 108 y 60.

1 080 es el menor número que puede ser dividido por 72, 108 y 60.

Propiedades del mínimo común múltiplo

1 Dados varios números todo múltiplo común a ellos es múltiplo del m.c.m de dichos números.

2 Los múltiplos comunes a varios números son también múltiplos del m.c.m de dichos números.

Ejemplo:

m.c.m. (16, 8) = 80

Algunos de los múltiplos comunes de 16 y 8 son 160, 240, 320 que también son múltiplos de 80

3 Cualquier múltiplo del m.c.m. de varios números también lo es de dichos números.

Ejemplo:

m.c.m. (16, 8) = 80

Algunos de los múltiplos de 80 son 160, 240, 320 que también son múltiplos de 16 y de 8

4El m.c.m. de dos números primos entre sí es su producto.

Ejemplo:

m.c.m (2,5) = 2 · 5 = 10

5Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de ambos.

Ejemplo:

El número 36 es múltiplo de 12.

m. c. m. (12, 36) = 36

5Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número entonces su m.c.m también queda dividido o multiplicado por el mismo número.

Ejemplo:

m.c.m. (32,84) = m.c.m. (2⁵, 2² · 3 · 7) = 672

32 · 4 = 128

84 · 4 = 336

m.c.m (128, 336) = 2688 = 672 · 4

Relación entre el m. c. d. y m. c. m.

m. c. d. (a, b) · m. c. m. (a, b) = a · b

Ejemplo:

m. c. d. (12, 16) = 4

m. c. m. (12, 16) = 48

48 · 4 = 12 ·16

192 = 192

Algoritmo de Euclides

Un algoritmo es una secuencia de pasos para conseguir un resultado.

El algoritmo de Euclides es un procedimiento para calcular el m.c.d. de dos números. Los pasos son:

1 Se divide el número mayor entre el menor.

2 Si:

1 La división es exacta, el divisor es el m.c.d.

2 La división no es exacta, dividimos el divisor entre el resto obtenido y se continúa de esta forma hasta obtener una división exacta, siendo el último divisor el m.c.d.

Ejemplo: 

m.c.d. (72, 16) = 8

Máximo común divisor

El máximo común divisor (m.c.d. o mcd) de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente.

Cálculo del máximo común divisor

1 Se descomponen los números en factores primos.

2 Se toman los factores comunes con menor exponente.

3 Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el mcd.

Ejemplo de cálculo de máximo común divisor

Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60:

1 

Solución: 

72 = 2³ · 3²

108 = 2² · 3³

60 = 2² · 3 · 5

2 m. c. d. (72, 108, 60) = 2² · 3 = 12

12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.

Propiedades del máximo común divisor

1 Los divisores comunes de varios números coinciden con los divisores del máximo común divisor.

Ejemplo: 

Calcular los divisores comunes de 54 y 90.
m.c.d (54, 90) = 18
Los divisores comunes de 54 y 90 son los divisores de 18, por tanto serían 1, 2, 3, 6, 9, 18.

2 Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número entonces su m.c.d también queda multiplicado o dividido por el mismo número.

Ejemplo: 

m.c.d. (54, 90) = 18
Si multiplicamos los dos números por 3 queda:

54 · 3 = 162

90 · 3 = 270

m.c.d. (162, 270) = 54 = 18 · 3

3 Esta propiedad es consecuencia de la anterior: Dados varios números, si se dividen por su m.c.d los cocientes resultantes son primos entre sí (su m.c.d es 1).

Ejemplo: 

m.c.d. (54, 90) = 18

54 : 18 = 3

90 : 18 = 5

m.c.d. (3, 5) = 1

4 Si un número es divisor de otro, entonces este es el m. c. d de los dos.

Ejemplo: 

El número 12 es divisor de 36.

m.c.d. (12, 36) = 12

Factorizar un número

Para factorizar un número o descomponerlo en factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un 1 como cociente.

Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes.

Ejemplo: 

Solución: 432 = 2⁴ · 3³

Ejemplo: 

Solución:   2 520 = 2³ · 3² · 5 · 7

Números compuestos

Un número compuesto es el que posee más de dos divisores. Es decir, aquel que se puede dividir por sí mismo, por la unidad y por otros números.

Ejemplo: 

12, 72, 144, ...

Los números compuestos se pueden expresar como productos de potencias de números primos. A dicha expresión se le llama descomposición de un número en factores primos.

Ejemplo: 

70 = 2 · 5 · 7

Números primos

Un número primo sólo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.

Ejemplo: 

5, 13, 59, ...

El número 1 sólo tiene un divisor, por eso no lo consideramos primo.

Para averiguar si un número es primo, se divide ordenadamente por todos los números primos menores que él.

Cuando, sin resultar divisiones exactas, llega a obtenerse un cociente menor o igual al divisor, podremos afirmar que el número es primo.

Ejemplo: 

Solución:   179 es primo

Criba de Eratóstenes

La criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar números primos menores que un número natural dado.

Partimos de una lista de números que van de 2 hasta un determinado número.

Eliminamos de la lista los múltiplos de 2.

Luego tomamos el primer número después del 2 que no fue eliminado (el 3) y eliminamos de la lista sus múltiplos, y así sucesivamente.

El proceso termina cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es menor que el número final de la lista.

Los números que permanecen en la lista son los primos.

Ejemplo:

Vamos a calcular por este algoritmo los números primos menores que 40:

1En primer lugar, escribimos los números, en nuestro caso serán los comprendidos entre 2 y 40.

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40

2Eliminamos los multipos de 2

	2	3		5		7		9
11		13		15		17		19
21		23		25		27		29
31		33		35		37		39

3El siguiente número es 3. Como 3²  <  40 eliminamos los múltiplos de 3.

	2	3		5		7
11		13		15		17		19
		23		25				29
31				35		37

 

4El siguiente número es 5. Como 5² <  40 eliminamos los múltiplos de 5.

	2	3		5		7
11		13				17		19
		23						29
	31						37

5El siguiente número es 7. Como 7² <  40 el algoritmo termina y los números que nos quedan son primos.

	2	3		5		7
11		13				17		19
		23						29
	31						37

Tabla de números primos hasta 200

	2	3		5		7				11		13				17		19
		23						29		31						37
41		43				47						53						59
61						67				71		73						79
		83						89								97
101		103				107		109				113
						127				131						137		139
								149		151						157
		163				167						173						179
181										191		193				197		199