Alegoría de la Geometría.
La geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma
griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que
se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el
espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (que incluyen paralelas,
perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).
Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo
técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el
pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la
considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las
ecuaciones diferenciales).
Sus orígenes se remontan a la solución de problemas
concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada,
mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía,
balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la
elaboración de artesanía.
Un poco de historia
La geometría es una de las ciencias más antiguas.
Inicialmente constituida en un cuerpo de conocimientos prácticos en relación
con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy
desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo.
Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática,
tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la
geometría euclidiana descrita en «Los Elementos».
El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de
determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió
como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un
milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría, marcando
una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas,
podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones.
La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los
entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la
topología y la geometría diferencial.
Axiomas, definiciones y teoremas
Un teorema descubierto y probado por Arquímedes: una esfera
tiene 2/3 del volumen de su cilindro circunscrito.
La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la
intuición. Por ello, es necesario un método riguroso, sin errores; para
conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos.
El primer
sistema axiomático lo establece Euclides, aunque era incompleto. David Hilbert
propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo.
Como en todo sistema formal, las definiciones, no sólo pretenden describir las
propiedades de los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los
objetos se convierten en entes abstractos ideales y sus relaciones se denominan
modelos.
Esto significa que las palabras "punto",
"recta" y "plano" deben perder todo significado material.
Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas
cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y sus
relaciones serán virtualmente idénticas al del modelo tradicional.
Axiomas
La geometría esférica es un ejemplo de geometría no
euclidiana.
En geometría euclidiana, los axiomas y postulados son
proposiciones que relacionan conceptos, definidos en función del punto, la
recta y el plano. Euclides planteó cinco postulados y fue el quinto (el
postulado de paralelismo) el que siglos después –cuando muchos geómetras lo
cuestionaron al analizarlo– originará nuevas geometrías: la elíptica (geometría
de Riemann) o la hiperbólica de Nikolái Lobachevski.
En geometría analítica, los axiomas se definen en función de
ecuaciones de puntos, basándose en el análisis matemático y el álgebra.
Adquiere otro nuevo sentido hablar de puntos, rectas o planos. puede definir cualquier función, llámese
recta, circunferencia, plano, etc.
Tipos de geometría
Entre los tipos de geometría más destacables se encuentran:
·
- Geometría euclidiana
- · Geometría plana
- · Geometría del espacio
- · Geometría no euclidiana
- · Geometría algebraica
- · Geometría analítica
- · Geometría clásica
- · Geometría de dimensiones bajas
- · Geometría descriptiva
- · Geometría diferencial
- · Geometría de curvas y superficies
- · Geometría de Riemann
- · Geometría diferencial de curvas
- · Geometría diferencial de hipersuperficies
- · Geometría diferencial de superficies
- · Geometría diferencial de variedades
- · Geometría diferencial discreta
- · Geometría proyectiva
- · Otros tipos de geometría
- · Geometría absoluta
- · Geometría afín
- · Geometría computacional
- · Geometría constructiva de sólidos
- · Geometría conforme
- · Geometría convexa
- · Geometría de incidencia
- · Geometría discreta
- · Geometría elíptica
- · Geometría esférica
- · Geometría finita
- · Geometría fractal
- · Geometría hiperbólica
- · Geometría molecular
- · Geometría molecular angular
- · Geometría molecular bipiramidal pentagonal
- · Geometría molecular bipiramidal trigonal
- · Geometría molecular cuadrada plana
- · Geometría molecular de balancín
- · Geometría molecular en forma de T
- · Geometría molecular lineal
- · Geometría molecular octaédrica
- · Geometría molecular piramidal cuadrada
- · Geometría molecular piramidal pentagonal
- · Geometría molecular piramidal trigonal
- · Geometría molecular tetraédrica
- · Geometría molecular trigonal plana
- · Geometría ordenada
- · Geometría sagrada
- · Geometría sintética
