Operaciones con polinomios

Valor numérico de un polinomio

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x³ + 5x  - 3 ; x = 1

P(1) = 2 · 1³ + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 5x - 3         Q(x) = 4x - 3x² + 2x³

1Ordenamos los polinomios, si no lo están.

 Q(x) = 2x³ - 3x² + 4x

P(x) +  Q(x) = (2x³ + 5x - 3) + (2x³ -3x² + 4x)

2Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) +  Q(x) = 2x³ + 2x³ - 3 x² + 5x + 4x – 3

3Sumamos los monomios semejantes.

P(x) +  Q(x) = 4x³- 3x² + 9x - 3

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x - 3) − (2x³ - 3x² + 4x)

P(x) −  Q(x) = 2x³ + 5x - 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) −  Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x− 4x - 3

P(x) −  Q(x) = 3x² + x – 3

Producto de polinomios

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

3 · (2x³ - 3 x² + 4x - 2) = 6x³ - 9x² + 12x - 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

3 x² · (2x³ - 3x² + 4x - 2) = 6x⁵ - 9x⁴ + 12x³ - 6x²

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x² - 3    Q(x) = 2x³ - 3x² + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) ·  Q(x) = (2x² - 3) · (2x³ - 3x² + 4x) =

= 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³ + 9x² − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

Ejercicio

Efectuar de dos modos distintos la multiplicación de los polinomios:

P(x) = 3x⁴ + 5x³ -2x + 3 y Q(x) = 2x² - x +3

P(x) · Q(x) = (3x⁴ + 5x³ -2x + 3) · (2x² - x +3) =

= 6x⁶ - 3x⁵ + 9x⁴ + 10x⁵ - 5x⁴ + 15x³ -

- 4x³ + 2x² - 6x + 6x² - 3x + 9 =

= 6x⁶ + 7x⁵ + 4x⁴ + 11x³ + 8x² - 9x + 9

División de polinomios

Resolver la división de polinomios:

P(x) = 2x⁵ + 2x³ −x - 8         Q(x) = 3x² −2 x + 1

P(x) :  Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x⁵ : x² = x³

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x⁴ : x² = 2 x²

Procedemos igual que antes.

5x³ : x² = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x² : x² = 8

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x³+2x² +5x+8 es el cociente.